中国最早的数学著作-中国之最

中国之最
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  中国古代数学
 
  中国是世界文明古国之一。数学是中国古代科学中一门重要学科,其发展源远流长,成就辉煌。根据它本身的,可以分为五个时期:(1)先秦萌芽时期;(2)汉唐奠基时期;(3)宋元全盛时期;(4)西学输入时期;(5)近现代数学发展时期。

 
  历史
 
  春秋前中国数学的萌芽
 
  我们的先民在从野蛮走向文明的漫长历程中,逐渐认识了数与形的概念。出土的新石器时期的陶器大多为圆形或其他规则形状,陶器上有各种几何图案,通常还有三个着地点,都是几何知识的萌芽。先秦典籍中有“隶首作数”、“结绳记事”、“刻木记事”的记载,说明人们从辨别事物的多寡中逐渐认识了数,并创造了记数的符号。殷商甲骨文(公元前14—前11世纪)中已有13个记数单字,最大的数是“三万”,最小的是“一”。一、十、百、千、万,各有专名。其中已经蕴含有十进位置值制萌芽。传说伏羲创造了画圆的“规”、画方的“矩”,也传说黄帝臣子倕[chui垂]是“规矩”和“准绳”的创始人。早在大禹治水时,禹便“左准绳”(左手拿着准绳),“右规矩”(右手拿着规矩)(《史记·禹本纪》)。因此,我们可以说,“规”、“矩”、“准”、“绳”是我们祖先最早使用的数学工具。人们丈量土地面积,测算山高谷深,计算产量多少,粟米交换,制定历法,都需要数学知识。《周髀〔bi婢〕算经》载商高答周公问,提到用矩测望高深广远。相传西周初年周公(公元前11世纪)制礼,数学成为贵族子弟教育中六门必修课程——六艺之一。不过当时学在官府,数学的发展是相当缓慢的。
 
  春秋时期,随着铁器的出现,生产力的提高,中国开始了由奴隶制向封建制的过渡。新的生产关系促进了科学技术的发展与进步。此时王权衰微,畴人四散,私学开始出现。最晚在春秋末年人们已经掌握了完备的十进位置值制记数法,普遍使用了算筹这种先进的计算工具。人们已谙熟九九乘法表、整数四则运算,并使用了分数。
 
  战国至两汉中国数学框架的确立
 
  战国时期,各诸侯国相继完成了向封建制度的过渡。思想界、学术界诸子林立,百家争鸣,异常活跃,为数学和科学技术的发展创造了良好的条件。尽管没有一部先秦的数学著作留传到后世,但是,人们通过田地及国土面积的测量,粟米的交换,收获及战利品的分配,城池的修建,水利工程的设计,赋税的合理负担,产量的计算,以及测高望远等生产生活实践,积累了大量的数学知识。据东汉初郑众记载,当时的数学知识分成了方田、粟米、差分、少广、商功、均输、方程、赢不足、旁要九个部分,称为“九数”。九数确立了《九章算术》的基本框架。
 
  秦始皇结束了列国纷争,首次建立了中央集权的封建帝国,本应有利于数学的发展。但他的专制政策窒息了百家争鸣的学术空气。秦朝的残暴统治,尤其是焚书坑儒,给中国文化事业造成空前的浩劫。不久,刘邦利用推翻暴秦的农民起义,统一了中国,建立了汉朝,史称西汉。西汉政府与民生息,社会生产力得到恢复、发展,给数学和科学技术的发展带来新的活力,人们提出了若干算术难题,并创造了解勾股形、重差等新的数学方法。同时,人们注重先秦文化典籍的收集、整理。作为数学新发展及先秦典籍的抢救工作的结晶,便是《九章算术》的成书。《九章算术》(省称《九章》)是中国最重要的数学经典,它之于中国和东方数学,大体相当于《几何原本》之于希腊和欧洲数学。在世界古代数学史上,《九章》与《原本》像两颗璀灿的明珠,东西辉映。
 
  《九章》之前还有一部《周髀算经》,它本是一部以数学方法阐述盖天说的天文著作,一般认为于公元前1世纪成书。卷上记载了商高答周公问,陈子答荣方问。前者有勾股定理的特例32+42=52,后者有用勾股定理及比例算法测太阳高远及直径的内容。近年湖北省张家山出土的竹简《算数书》正在整理,其少广一问与《九章》少广章第1问基本相同,两者的关系有待于研究。
 
  《九章》集先秦到西汉数学知识之大成。据东汉末大学者郑玄(公元127—200年)引东汉初郑众(?—公元83年)说,西汉在先秦九数基础上又发展出勾股、重差两类数学方法。魏刘徽说:《九章》是由九数发展而来的,由于秦朝焚书而散坏。西汉张苍(?—公元前152年)、耿寿昌(公元前1世纪)收集秦火遗残,加以整理删补,便成为《九章算术》。方田章提出了完整的分数运算法则,各种多边形、圆、弓形等的面积公式;粟米章提出了比例算法;衰[cui崔]分①章提出了比例分配法则;少广章给出了完整的开平方、开立方程序;商功章讨论各种立体体积公式及工程分配方法;均输章解决赋役中的合理负担,也是比例分配问题,还有若干结合西汉社会实际的算术杂题;盈不足章解决盈亏问题及可以用盈不足术解决的一般算术问题;方程章是线性方程组解法,并给出了正负数加减法则;勾股章由旁要发展而成,提出了勾股定理、解勾股形及若干测望问题的方法。全书以计算为中心,有90余条抽象性算法、公式,246道例题及其解法,基本上采取算法统率应用问题的形式。它的许多成就居世界领先地位,奠定了此后中国数学居世界前列千余年的基础。《九章》分类不甚合理,没有任何定义和推导,少数公式不准确,个别公式有错误,则是不容讳言的缺点。《九章》的框架、形式、风格和特点深刻影响了中国和东方的数学。
 
  《九章算术》成书后,注家蜂起。《汉书·艺文志》所载《许商算术》、《杜忠算术》(公元前1世纪)估计为研究《九章》的作品。东汉马续、张衡、刘洪、郑玄、徐岳、王粲等通晓《九章算术》,或为之作注。这些著作都未传世,从后来刘徽(今山东邹平人,生卒不详)《九章算术注》所反映的信息看,这些研究基本上停留在归纳验证《九章算术》的正确性方面,理论上未能在《九章》基础上作出长足进步。
 
  魏晋至唐初中国数学理论体系的建立
 
  《九章算术》之后,中国的数学著述基本上采取两种方式:一是为《九章算术》作注;二是以《九章算术》为楷模编纂新的著作。经过两汉社会经济和科学技术的大发展,到魏晋,中国封建社会进入一个新的阶段,庄园农奴制和门阀士族占据了经济政治舞台的中心。思想文化领域中,儒家的统治地位被削弱,谶纬迷信和繁琐的经学退出历史舞台,代之以谈三玄——《周易》、《老子》、《庄子》为主的辩难之风。学者们通过析理,探讨思维规律,思想界出现了战国的百家争鸣以来所未有过的生动局面。与此相适应,数学家重视理论研究,力图把自先秦到两汉积累起来的数学知识建立在必然的可靠的基础之上。刘徽和他的《九章算术注》便是这个时代造就的最伟大的数学家和最杰出的数学著作。
 
  大约与刘徽同时或稍前,有赵爽(又名婴,字君卿,生卒不详,估计是三国吴人)的《周髀算经注》,其可观者为“勾股圆方图”,用600余字概括了两汉以来勾股算术的成果。
 
  刘徽《九章算术注》作于魏景元四年(公元263年),原十卷。前九卷全面论证了《九章》的公式、解法,发展了出入相补原理、截面积原理、齐同原理和率的概念,在圆面积公式和锥体体积公式的证明中引入了无穷小分割和极限思想,首创了求圆周率的正确方法,指出并纠正了《九章》的某些不精确的或错误的公式,探索出解决球体积的正确途径,创造了解线性方程组的互乘相消法与方程新术,用十进分数逼近无理根的近似值等,使用了大量类比、归纳推理及演绎推理,并且以后者为主。第十卷原名重差,为刘徽自撰自注,发展完善了重差理论,此卷后来单行,因第一问为测望一海岛的高远,名之曰《海岛算经》。他还著有《九章重差图》一卷,已佚。刘徽生活在辩难之风兴起而尚未流入清谈的魏晋之交,受思想界“析理”的影响,对《九章算术》“析理以辞,解体用图”(《九章算术注·序》),并对各种算法进行总结分析,认为数学像一株枝条虽分而同本干的大树,发自一端,形成了一个完整的理论体系。刘徽博览群书,谙熟诸子百家,他不迷信古人,敢于创新,实事求是。对他未能解决的牟合方盖,坦诚直书,表示“以俟能言者”(《九章算术·少广章注》),表现了一位伟大学者寄希望于后学的坦荡胸怀。
 
  《孙子算经》三卷,常被误认为春秋军事家孙武所著,实际上是公元400年前后的作品,作者不详。这是一部数学入门读物,给出了筹算记数制度及乘除法则等预备知识,其河上荡杯、鸡兔同笼等问题后来在民间广泛流传,“物不知数”题则开一次同余式解法之先河。张丘建(今山东人,生平不详)著的《张丘建算经》三卷,成书于北魏(5世纪下半叶)。此书补充了等差级数的若干公式,其百鸡问题是著名的不定方程问题,后世十分重视。
 
  《缀术》包含了祖冲之(公元429—500年)和儿子祖暅〔geng更〕之(一作祖暅,生平不详)的数学贡献。由于其内容深奥,隋唐算学馆学官(相当于今天大学数学系教授)读不懂,遂失传。据认为,将圆周率精确到八位有效数字、球体积的解决及含有负系数的二次、三次方程皆是其中的内容。祖冲之,字文远,祖籍范阳逎(今河北省涞源县)人。刘宋大明六年(公元462年)造大明历,使用岁差,改革闰制。他的改革遭到守旧派官僚戴法兴的反对,祖冲之不畏权势,据理驳斥,坚持了反对谶纬迷信,不虚推古人,实事求是的科学精神。他对机械深有研究,制造过水碓、水磨、指南车、千里船、漏壶等,并著《安边论》、《述异记》等。祖暅之,字景烁。从小爱好数学,巧思入神,极其精微。专心致志之时,雷霆不能入。有一次走路时思考问题,仆射徐勉迎面而来竟然没有发现,头撞到徐勉身上,徐勉唤他,他才知道撞了人。其父的《大明历》经他的努力在梁朝颁行。
 
  北周甄鸾(今河北无极人,生卒不详)有三部数学著作传世,即《五曹算经》、《五经算术》、《数术记遗》。前二部内容浅近,无足道者。《数术记遗》一卷,传本题(东)汉徐岳撰、北周甄鸾注,近人多以为系甄鸾自撰自注,假托徐岳。书中记载了三种大数进位制及14种算法,其中珠算虽不同于元明的珠算盘,然开后者之先河,似无可疑。
 
  隋唐是中国封建社会经济政治文化的鼎盛时期,然而数学上除天文历法研究中刘焯(公元544—610年)创造等间距内插公式(7世纪初)和僧一行(公元683—727年)创造不等间距内插公式(8世纪)外,几无创造,数学成就及理论水平远远低于魏晋南北朝。唐初王孝通(生卒不详)撰《缉古算经》一卷,解决了若干复杂的土方工程及勾股问题,且都用三次或四次方程解决,是为现存记载三次、四次方程的最早著作。然而,《缉古算经》未必是高于《缀术》的著作。王孝通是历算博士,曾任太史丞,在天文历法方面是保守的。他在《上〈缉古算经〉表》中指责《缀术》全错不通,于理未尽,大约他与当时别的数学家一样读不懂《缀术》。他自诩他的《缉古算经》千金不能排其一字,他一旦瞑目,其方法后人莫晓。科学家不必作谦谦君子,但如此狂妄,也是不足取的。
 
  隋唐统治者在国子监设算学馆,置算学博士、助教指导学生学习。唐李淳风等奉敕于显庆元年(公元656年)为《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《夏侯阳算经》、《缀术》、《张丘建算经》、《五曹算经》、《五经算术》、《缉古算经》等十部算经作注,作为算学馆教材,这就是著名的《算经十书》,该书是中国古代数学奠基时期的总结。李淳风等注释保存了许多宝贵资料,但注释水平并不高。由于种种原因,算学馆实际未培养出像样的数学家。
 
  唐中叶至宋元中国数学的高潮
 
  经过盛唐的大发展,唐中叶之后,生产关系和社会各方面逐渐产生新的实质性变革,到10世纪下半叶,赵匡胤建立宋朝,统一中国,中国封建社会进入了另一个新的阶段,土地所有制以国有为主变为私有为主,租佃农民取代了魏唐的具有农奴身份的部曲、徒附。农业、手工业、商业和科学技术得到更大发展。中国古代四大发明,有三项——印刷术之广泛应用及活字印刷,火药用于战争,指南针用于航海——完成于唐中叶至北宋。宋秘书省于元丰七年(公元1084年)首次刊刻了《九章算术》等十部算经(时《夏侯阳算经》、《缀术》已失传,因8世纪下半叶一部韩延《算术》开头有“夏侯阳曰”云云而误认为是前者而刻入,后者只好付之阙如),是世界上首次出现的印刷本数学著作。后来南宋数学家鲍澣之翻刻了这些刻本,有《九章算术》(半部)、《周髀算经》、《孙子算经》、《五曹算经》、《张丘建算经》五种及《数术记遗》等孤本流传到现在,是目前世界上传世最早的印刷本数学著作。宋元数学家贾宪、李冶、杨辉、朱世杰的著作,大都在成书后不久即刊刻。数学著作借助印刷术得以空前广泛的流传,对传播普及数学知识,其意义尤为深远。
 
  宋元数学高潮早在唐中叶已见端倪。随着商业贸易的蓬勃发展,人们改进筹算乘除法,新、旧《唐书》记载了大量这类书籍,可惜绝大多数失传,只有韩延(生平不详)《算术》(8世纪)以《夏侯阳算经》的名义流传下来,该书提出了若干化乘除为加减的捷算法,并在运算中使用了十进小数,极可宝贵。
 
  11世纪上半叶贾宪(生平不详)撰《黄帝九章算经细草》,是为北宋最重要的数学著作。贾宪曾任左班殿直(低级武官),是当时著名天文学家、数学家楚衍的学生。